z=f(x,y)の関​数について､zが最小​となるラインを近似し​てxとyの2次関数と​して求めることはでき​ますか？

入力がxとyの2変数・出力がzのシミュレーションを実施し、そのデータ点が複数あります。

zは正の値しか取らず、scatter3でグラフ化するとxとyの直線に近い(少し曲がりがあります)ラインを境にzが増加する谷間のような形状になります。例えば、およそ以下のような感じのデータです。

y = repmat([0.75:0.01:1.25],51,1);

x = y';

z = 2000*(y - 0.2*(x+1.25).^2 + 0.02).^2+400*(x-1).^2+125;

scatter3(x,y,z)

任意のyに対してzが最小となるようなxを求めようとしており、x・yに対するzをfit関数の'poly22'で曲面近似すればyとxの1次関数を求められると思いますが、できれば2次関数で求めたいと思っています。

良い方法等ありましたらご教示ください。（難しければ、1次関数で我慢するか、適当な上限z値以下の範囲でyとxだけで2次近似かなと思っています。）

[Akira Agata]

fit 関数は "poly33" にも対応していますので、単純に考えると "poly33" で曲面近似すればご所望の 2次関数が得られるかと思いますがいかがでしょうか？

ちなみに fit 関数が対応している近似式のライブラリは下記でご確認頂けます。

曲線近似または曲面近似のライブラリ モデルのリスト

Answer 1

[Hiro Yoshino]

シンボリックに式を扱ってはどうでしょうか?

syms x y x0
assume(x>0.75 & x<1.25);
assume(y>0.75 & y<1.25);
z = 2000*(y-0.2*(x+1.25)^2+0.02)^2+400*(x-1)^2 + 125;
fsurf(z,[0.75 1.25 0.75 1.25]);
xlabel("x"); ylabel("y"); zlabel("z");

●

% (x,y) = (1,1) 近傍でテイラー展開で近似
z_approx = taylor(z,[x,y],[1 1],'order',3)

z_approx = 

fsurf(z_approx)

% x で微分して頂点を探す
Dz_approxDx = diff(z_approx,x) 

Dz_approxDx = 

solve(Dz_approxDx==0,x) % 答え

ans = 

Answer 2

[達哉]

ご回答いただいたお二方、ありがとうございました。私の方で重要な点を見落としておりました。

poly22で曲面近似した場合に求められる1次関数についても、任意のXに対しZが最小となるYの1次関数と、任意のYに対しZが最小になるXの1次関数は、基本的に異なるのでした。正確には、近似線の直角方向でZが最小になるイメージです。

（このあたりは私の大学数学に対する知見の乏しさであり、大変申し訳ございません。）

話が難しくなりそうで、もう少し考えたいと思いますが、もしご知見ありましたらご教示ください。