工科系の数学概論（Lecture of Mathematical Sciences）

学生諸君にとっては, MATLABが数学の理解を深め, また, 研究者にとっては数学探求の道具になるとの思いでLive Scriptの機能を使って「工科系の数学概論」をまとめようと密かに念じておりました。ここに一通りまとめることができましたので、公開します。学部3,4大学院レベル

まえがき

第1章　はじめに

第2章　自然科学と数学

　§2.1 物体の投てき運動

　§2.2 (5)の解

　§2.3 シミュレーション

　　§2.3.1 戦艦大和主砲の弾道計算

　　§2.3.2 大谷翔平投手のストライクゾーン軌道

第3章　常微分方程式基礎

　§3.1 常微分方程式の基礎的事項

　§3.2 常微分方程式の解と初期値問題

　§3.3 常微分方程式の初期値問題の解の存在性と一意性

　§3.4 線形と非線形

第4章　非線形常微分方程式のふるまい

　§4.1 平衡点の種類と安定性

　§4.2 非線形平衡点の取り扱い

　§4.3 van der Pol方程式

　　§4.3.1　van der Pol方程式のリミット・サイクル

　　§4.3.2　van der Pol方程式の解の分岐

　§4.4 カオス

　　§4.4.1　非線形バネ-マス-ダンパー系

　　§4.4.2　外力を印加した非線形バネ-マス-ダンパー系

第5章　Lyapunovの安定論と中心多様体

　§5.1 安定・不安定の定義

　§5.2 安定多様体・不安定多様体・中心多様体

　　§5.2.1　安定多様体・不安定多様体

　　§5.2.2　中心多様体

　§5.3 中心多様体定理

第6章　微分方程式の数値解法

　§6.1 微分方程式の数値解法

　　§6.1.1　Euler法

　　§6.1.2　2段2次Runge-Kutta法

　　§6.1.3　4段4次Runge-Kutta法

　§6.2 MATLABが提供するソルバー

　　§6.2.1　Dormand-PrinceのRunge-Kutta公式

　　§6.2.2　 MATLABが提供する種々のソルバー

　§6.3 いくつかのシミュレーション技法

　　§6.3.1　アルゴリズムの選択法

　　§6.3.2　stiffな方程式

　　§6.3.3　係数が大きいとき

　　§6.3.4　周期解

第7章　特異点

　§7.1 解析解

　§7.2 べき級数法

　§7.3 解曲線

第8章　Laplace変換

　§8.1 Laplace変換の定義

　§8.2 初等関数のLaplace変換と基本的な性質

　§8.3 逆Laplace変換

　§8.4 Laplace変換の微分方程式解法への応用

　　§8.4.1　変数係数線形常微分方程式への応用

　　§8.4.2　偏微分方程式への応用

　§8.5 自動制御とLaplace変換

第9章　偏微分方程式：1次元熱方程式

　§9.1 1次元熱方程式

　§9.2 1次元熱方程式の初期値境界値問題：同次境界条件

　§9.3 1次元熱方程式の初期値境界値問題：非同次境界条件

　§9.4 拡散方程式と拡散対流方程式

第10章　偏微分方程式：2次元熱方程式

　§10.1 2次元熱方程式

　§10.2 2次元熱方程式の初期値境界値問題

　§10.3 数値計算

　§10.4 Courant数

第11章　Laplace方程式

　§11.1 Cauchy-Riemannの方程式

　§11.2 一様な物体の熱的定常状態

　§11.3 非圧縮渦なし流体の流線

第12章　双曲型偏微分方程式

　§12.1 弦の横振動（1次元波動方程式）

　§12.2 弦の横振動問題

　§12.3 弦の横振動：ノーダル・モード

　§12.4 弦の横振動問題：Dirichlet条件とNeumann条件の違い

　§12.5 弦の横振動問題：跳躍

　§12.6 2次元波動方程式

　§12.7 3次元波動方程式

第13章　非線形偏微分方程式：移流方程式とBurgers方程式

　§13.1 移流方程式

　§13.2 非線形移流方程式

　§13.3 Burgers方程式

第14章　反応拡散方程式：Turingパターン

　§14.1 Turingと形態形成

　§14.2 反応拡散方程式

　§14.3 拡散誘導不安定

　§14.4 Turingパターン

おわりに